一 、曲率圆
曲线C（如y=f(x))在点p处的曲率圆是曲线p附近最接近曲线的圆周 ，正如切线是在这一点最接近曲线的直线。
曲线偏离自身切线的快慢来量度曲率K
曲线在点P和点q处的法线相交 ，当p→q时，两条法线交点的极限位置就是近似圆的中心C 。称PC为曲率半径 ，K=1/pc 。
二 、当X轴平行于曲线在点P处的切线T
曲线偏离其切线的量σ最初按照距离ε的平方增加（像抛物线一样） ，比例系数是曲率K的一半。
因为T与曲线C相切，
既可以用σ表示K ，也可以用K表示σ
当 X轴平行于切线 T时 ，意味着在点 P处切线的斜率为零，即 f′(x0)=0，其中 x0是点 P 的 x坐标 。此时 ，函数 y=f(x)在点 P 处的泰勒展开为：
各项的意义：
f(x0)：常数项 ，表示点 P 处的函数值，即曲线在点 P 的 y坐标 。
f′′(x0)(x−x0)²/2!：二次项 ，表示函数在点 P 附近的曲率行为。由于一次项为零 ，二次项主导了局部凹凸性：
如果 f′′(x0)>0，函数在点 P 处有局部最小值 ，曲线凸向上；
如果 f′′(x0)<0 ，函数在点 P 处有局部最大值，曲线凸向下 。
f′′′(x0)(x−x0)³/3!：三次项 ，表示函数在点 P 附近的不对称性或扭曲程度 ，例如拐点行为 。
更高阶项：表示更精细的局部行为，但通常影响较小。
在这种坐标系下 ，X轴与切线平行 ，相当于在点 P 处使用局部坐标系，其中切线是水平的，因此泰勒展开缺少一次项 ，二次项成为主导。
因此 ，对照上图，
x-x0=ε ，
σ=f''(x0)(x-x0)²/2=f''(x0)ε²/2
σ=Kε²/2 ，比较系数
K=f''(x0)=f''(xp)
三、当x轴是任意方向，切线T与x轴的夹角为ϕ
当 x轴是任意方向时 ，切线 T与 x轴的夹角为 ϕ ，即 f′(x0)=tanϕ 。
标准泰勒展开在直角坐标中为：
为了引入角度 ϕ，我们考虑在点 P 处建立一个局部坐标系 (X,Y) ，其中 X轴沿切线方向 ，Y轴沿法线方向 。
坐标变换为：
在点 P处，X=0 ，Y=0。曲线在局部坐标系中表示为 Y=g(X) 。由于 X轴是切线方向 ， 有 g(0)=0 和 g′(0)=0 。因此，Y=g(X)的泰勒展开从二次项开始：
通过计算可得：
g′′(0)=f′′(x0)cos³ϕ
g′′′(0)=f′′′(x0)cos⁴ϕ−3f′′(x0)²cos³ϕsinϕ（更复杂的表达式，但包含 cosϕ的幂次）
因此 ，泰勒展开变为：
更高阶项也包含 cosϕ 的幂次。
因此 ，泰勒展开变为：
二次项：系数 1/2f′′(x0)cos³ϕ 直接包含 cos³ϕ 。
对照上图对比理解：
这与曲率公式相关，曲率
κ=|f′′(x0)|/(1+(f′(x0))²)^3/2=|f′′(x0)|cos³ϕ
因此二次项反映了曲率与角度 ϕ的关系 。
四 、作为转向率的曲率
单位速率运动 ，速度向量V就是T ，且δs=δt，则加速度：
dT/ds=dv/dt
加速度方向垂直于曲线 ，即为这曲线在该点处的曲率！
当T和N同时旋转时 ，它们的顶端分别沿N和-T移动相等的距离。即速度V分别为其顶端的切方向！
也就是说，T的端点是沿N的方向开始旋转的 ，N的端点是沿-T的方向开始旋转的 ，它们移动的距离相等 。
设φ表示切线与水平的x轴之间的夹角，则T和N可表示为：
引入单位切向量 T ，那么速度可以写成：
v = v T
加速度是速度对时间的导数：
a = dv/dt = d(v T)/dt = (dv/dt) T + v (dT/dt)
第一项 (dv/dt) T 就是切向加速度 ，它源于速率的变化 。
第二项 v (dT/dt) 就是法向加速度，它源于速度方向的变化。
单位切向量 T 的模长始终为1，所以它的导数 dT/dt 必然垂直于它自身（因为一个矢量只有在其方向变化时 ，其单位矢量的导数才不为零 ，且导数方向垂直于原矢量） 。
因此，dT/dt 的方向就是曲线的主法线方向 ，我们定义单位法向量 N 指向曲率中心 。
现在 ，dT/dt 的大小是多少？它描述了方向变化的快慢。
当质点走过一小段弧长 ds 时，其方向变化为 dφ。
根据曲率的定义 K = |dφ/ds| ，即曲率是角度变化相对于弧长的变化率 。
所以 ，角度变化率 dφ/dt = (dφ/ds) * (ds/dt) = K * v
由于 dT/dt 的大小就等于角度变化率 |dφ/dt|，所以 |dT/dt| = K v
那么：
a = (dv/dt) T + (K v²) N
所以：
切向加速度 aₜ = (dv/dt)
法向加速度 aₙ = K v²
F = K m v² N
这是完整公式在匀速曲线运动 (dv/dt = 0) 下的特例 ，此时合力完全用于提供向心加速度 。
它也总是代表总合力中的法向分量 Fₙ。
这种曲率（看作转向率）的新解释使我们能够处理无法用函数图像表示的曲线 ，
设C是质点的轨迹，质点在时刻t的位置为（x(t),(y(t)) ，则速度为
tanφ=y′/x′
其中 x′=dx/dt和 y′=dy/dt是参数 t的导数 ，φ 是切线与 x轴的夹角 。
曲率 K 定义为 K=dφ/ds，其中 s 是弧长 。
首先，对 tanφ=y′/x′ 两边关于参数 t求导：
化简可得：
几何诠释
[a]设v为点p的速度 ，经过时间δt后 ，点p沿着曲线C走了δs=vδt。[b] 连接从同一点出发的两个速度向量的端点的向量为δv=v'δt 。用两种不同的方式看这个三角形的面积就产生了K的式
阴影部分就是半径为V=√(x'²+y’²） 、圆心角为δφ的扇形，
这个扇形的面积最终等于以速度向量v(x',y')和δv(x''δt,y''δt)为边的三角形面积 。两个向量 u 和 v 所构成的三角形面积公式为：
面积 = ½ |u × v|
在二维平面中 ，如果 u = (u₁, u₂) ，v = (v₁, v₂)，则：
面积 = ½ |u₁v₂ - u₂v₁|
这个三角形的面积就是1/2乘以这些两列矩阵的行列式 ，两种面积求取方式等价 ，因此
(x'y''-y'x'')δt/2=v³Kδt/2
K=(x'y''-y'x'')/v³，v²=x'²+y'²
最终再次获得参数形式的曲率公式：
K=(x'y''-y'x'')/(x'²+y'²)^3/2
五、从参数形式到直角坐标形式
在直角坐标中 ，我们通常将 x视为参数本身 ，即令 x=t。
那么：
将这些代入参数形式的曲率公式：
从而获得直角坐标形式下的曲率公式 。
直角坐标系f′=dy/dx，在参数形式中等价于 y′/x′ ，因此直角坐标系和参数形式下两个曲率公式是统一的 。
如果质点的水平速率是恒定不变的x=t ，x'=1，则它的轨道是(t,y(t)),直角坐标系下的曲率公式是参数形式下曲率公式的一个特例！
最后，考虑一个特别重要的特殊情况 ，其中质点的运动速率为单位速率 ，从而
|v|=√x'²+y'²=1
且δt=δs
如果质点以单位速率运动，在δt=δs期间 ，速度v的端点走过了单位圆上的一段弧δφ ，高度升高了δy'=y''δt=y''δs。两个阴影三角形最终相似产生了式
类似地，通过同样的三角形可得
以上就是牛顿曲率产生过程和几何诠释！
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