有时候会觉得高等数学的题目比高考的数学题还要简单。那是因为高等数学有更多定理和知识做支持 ，而且一般的题目 ，这些定理和知识运用得还都是比较机械的 。如果你也有这种感觉的话，那就一定要好好学一学这道运用拉格朗日中值定理的题目了，它可能会刷新你对拉格朗日中值定理的认知 。
证明：若x>0, 则
(1)√(x+1)-√x=1/(2√(x+θ(x))) ，其中1/4<θ(x)<1/2；
(2)lim(x→0^+ )θ(x)=1/4 ，(lim)(x→+∞)θ(x)=1/2.
分析：高数问题构造辅助函数是最常用的方法之一。这道题构造的辅助函数相当简单，就构造f(x)=√x ，并求它的导数 ，得到f'(x)=/(√).
当x大于0时，函数在任意闭区间[x,x+1]上 ，都是符合拉格朗日中值定理的。
因此 ，√(+)−√=/(√(+())), 0<θ(x)<1.
也就是两个函数的函数差比自变量差，会等于对应开区间上的一个点的导数值 ，这里自变量差刚好等于1 。而这个点可以用x+θ(x)来表示 。根据拉格朗日中值定理 ，这里的θ是在(0,1)上的。到这里肯定有不少人就会犯迷糊了 。式子倒是证明出来了，但条件不对啊 。题目中θ(x)的值域明明是在(1/4,1/2)上的啊。那应该怎么办呢？
其实很简单 ，而且直接 ，就是证明1/4<θ(x)<1/2，就可以了嘛 。
由上式得到另一个等式：√(+())=√(+)+√，就是两边都取倒数 ，原式左边分子分母同乘以√(+)+√ ，进行分母有理化，就变成这个式子右边的形式了 。
再两边同时平方 ，移项 ，化简，可以得到θ(x)的一个表达式：θ(x)=1/4+(√(x(x+1))-x)/2。
所以拉格朗日中值定理中的θ ，在可变区间上 ，其实是一个函数，而不是一个常数 。这个函数在区间大小一定时 ，会随着区间左端点的变化而变化 。也可以随着右端点的变化而变化。从这个函数的解析式就可以发现 ，θ(x)的值域大于1/4了 。
将θ(x)的解析式中的分式，分子分母同乘以√((+) )+ ，化为：θ(x)=/+/((√((+) )+)).
可以发现 ，后面的分式一定小于四分之一，所以θ(x)小于二分之一 。关于上下界的确定，请自行理解 ，很容易的。
这就证明了1/4<θ(x)<1/2 ，从而得证。
下面我们来看一看θ(x)的图像 。这个图像一开始吓了老黄一跳 。中间怎么空了一块，原来是因为函数在(-1,0)上没有定义。注意 ，这是函数本身的存在域 ，就这道题来说，它的定义域是在正区间的 。
不论是存在域 ，还是定义域 ，第一个极限都只能求右极限 。代入x=0，就求得极限等于四分之一。
而求x趋于正无穷大的极限 ，最好把函数的形式化为根式在分母的情形 。因为这样才能直接得到极限等于二分之一 。这是因为分子分母的最高次项相同 ，都是1次项，分子的一次项系数是1 ，分母的1次项系数是4 ，当x趋于无穷大时，根分式的极限就是四分之一，加上前面的四分之一 ，就等于二分之一。
通过这道题 ，我们可以知道，拉格朗日中值定理公式中的θ ，不仅仅可以确定在(0,1)上 ，而且有可能确定在一个更小的区间上的 。怎么样？这道题能让你对拉格朗日中值定理有一个新的认识吗？
本文来自作者[宛畅可爱吗]投稿，不代表点新号立场，如若转载，请注明出处：https://sc-hx.cn/cshi/202609-11210.html
评论列表（3条）
我是点新号的签约作者“宛畅可爱吗”
本文概览：根号x求导(根号x求导等于什么)有时候会觉得高等数学的题目比高考的数学题还要简单。那是因为高等数学有更多定理和知识做支持，而且一般的题目，这些定理和知识运用得还都是比较机械的。...
文章不错《根号x求导(根号x求导等于什么)》内容很有帮助