上一课，我们认识了复合函数。
一个函数先处理。
它产生的结果，再交给另一个函数继续处理 。
两个过程连接起来 ，就形成了复合函数 。
今天我们来看一种非常特殊的复合。
一个函数 ，和它自己的反函数连接起来，会发生什么？
先看一个简单例子 。
假设有一个函数 。
输入一个数。
先乘以二 。
再加三 。
输入四。
第一步 ，四乘以二 ，得到八 。
第二步，八加三 ，得到十一 。
所以输入四 ，最后输出十一。
现在我们想把这个过程倒回来 。
已经知道结果是十一 。
怎样重新找到最开始的四？
原来的最后一步是加三。
所以倒过来，第一步应该减三。
十一减三 ，得到八 。
原来的第一步是乘以二 。
所以倒过来 ，第二步应该除以二。
八除以二，得到四 。
我们重新找到了最开始的输入 。
这就是反函数最重要的作用。
它不是另外创造一个结果 。
而是把原函数做过的事情撤销掉 。
原函数向前走。
反函数向后走 。
两者连接起来 ，最后回到出发点 。
可以把它想成穿衣服和脱衣服。
先穿衬衫 。
再穿外套 。
如果想完全恢复到最开始的状态 ，就不能随便脱。
应该先脱外套。
再脱衬衫 。
为什么？
因为反向操作的顺序，也必须反过来 。
函数也是一样。
原函数如果先做第一件事，再做第二件事 。
反函数通常要先撤销第二件事 ，再撤销第一件事 。
这就是为什么刚才原函数是。
先乘以二 。
再加三 。
而反过来的过程却是。
先减三 。
再除以二 。
顺序不能乱。
现在再看一个更简单的例子 。
原函数只做一件事情 。
输入一个数。
加十。
如果输入五 ，输出十五 。
反函数应该做什么？
减十 。
把十五输入反函数。
十五减十，重新得到五 。
所以原函数和反函数连续作用以后 ，最后什么都没有改变 。
从五出发。
经过原函数变成十五 。
再经过反函数 。
又回到五。
这种什么都不改变的函数 ，在数学里也有自己的名字 。
叫恒等函数 。
恒等函数非常简单。
输入什么，就输出什么 。
输入三 ，输出三 。
输入一百 ，输出一百。
输入负五，输出负五。
它看起来几乎什么都没有做 。
但是它在数学里非常重要 。
因为原函数和反函数复合以后 ，应该产生这种效果。
先改变 。
再完整恢复 。
最后等于没有改变。
这也给了我们一种判断反函数的方法 。
如果你认为某个规则是另一个函数的反函数 ，可以把两者连续做一遍 。
如果最后能够重新得到最开始的输入，说明方向是对的。
不过这里还有一个细节 。
只检查一个方向 ，有时候还不够 。
真正完整的反函数关系 ，需要两个方向都能恢复。
先做原函数，再做反函数，要回到原来的输入 。
先做反函数 ，再做原函数 ，也应该回到原来的对象 。
为什么要检查两个方向？
因为我们希望输入世界和输出世界之间真正形成一一对应。
既不能发生碰撞。
也不能出现遗漏 。
这就和前面学过的双射连接起来了 。
如果原函数是双射，那么每一个输入都有唯一输出。
每一个输出也恰好来自唯一输入 。
这样我们才能放心地反过来 。
现在再看一个不能完整反过来的例子。
输入一个数 。
让这个数乘以自己 。
输入二 ，得到四。
输入负二 ，也得到四 。
假设现在只知道输出四 。
我们想恢复原来的输入。
问题马上出现 。
到底是二 。
还是负二？
无法唯一判断。
原因已经很熟悉了。
两个不同输入发生了碰撞 。
原来的某些信息丢失了 。
所以这个函数如果允许所有实数输入，就不能直接拥有普通意义下的完整反函数。
但是数学家还有一个办法 。
缩小定义域 。
例如我们规定。
输入只允许取零和所有正数 。
这时候输入二得到四 。
而负二已经不允许进入。
所以当输出是四时 ，就能唯一找到输入二 。
这样一来 ，原来不能反过来的函数，在缩小输入范围以后 ，就可能得到反函数 。
这是一种非常重要的数学方法。
当一个结构太宽 ，导致某种性质失败时，可以尝试缩小研究范围 。
有时候 ，问题就会重新变得可控 。
今天我们把几个已经学过的概念真正连起来了。
复合函数告诉我们。
两个函数可以连续作用 。
反函数告诉我们 。
一个函数的作用 ，有时候可以被另一个函数撤销。
双射告诉我们 。
什么时候这种撤销能够完整而唯一地进行 。
恒等函数告诉我们。
完全撤销以后，最终应该回到原来的对象 。
所以反函数并不是一条孤立公式 。
它背后研究的是一个更深的问题。
一个变化过程，能不能被完整恢复 。
这个问题以后还会不断出现 。
在线性代数里 ，我们会研究一个线性变换能不能逆转。
在矩阵里面 ，会研究矩阵有没有逆矩阵 。
在更高的数学里，也会不断研究某种映射是不是可逆 。
它们背后的思想 ，其实和今天完全一样。
先变化。
再询问 。
能不能找回原来的东西 。
下一课 ，我们换一个角度研究函数。
以前一直在研究某个输入会得到什么输出 。
下一步，我们开始研究整个函数的性格 。
一个函数随着输入不断增加 ，输出究竟是在变大 ，变小，还是忽上忽下？
这就是单调性的开始。
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文章不错《反函数与原函数的转化(反函数与原函数的转化公式)》内容很有帮助