数字嵌入诗词 ，早已有之 。郑板桥有咏雪诗：
一片二片三四片 ，五片六片七八片；
千片万片无数片，飞入梅花总不见 。
诗句抒发了诗人对漫天雪舞的感受。不过，诗中尽管嵌入了数字 ，却实在和数学没有什么关系。数学和古典人文的联接 ，贵在意境 。这要从徐利治先生的一段往事说起 。大约在1993年，在无锡鼋头渚开过一次数学方法论的研讨会。有一天下午 ，徐先生作报告 。他说了一个故事 。
“我在数学分析课堂上 ，先在黑板上写了李白的名诗：
故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。
孤帆远影碧空尽 ，唯见长江天际流 。
然后问同学们哪一句可以和极限概念相通？大家的共同回答是‘孤帆远影碧空尽’ 。这说明 ，数学和诗词是可以沟通的”。
徐先生的演讲触动了小编的心弦 。小编似乎看到了数学和人文意境互相沟通的隧道 。徐先生的例子事关无限。无限，乃是数学家和人文学者都要面对的问题 。彼此解决的途径可以不同 ， 但是思考时的意境必然会有相似之处 。
于是 ，小编接着思考有关无限的诗句。首先想到的是陈子昂的《登幽州台歌》：
前不见古人，后不见来者；
念天地之悠悠 ，独怆然而涕下。
一般的语文解释说：前两句俯仰古今 ，写出时间绵长；第三句登楼眺望，写出空间辽阔 。在广阔无垠的背景中，第四句描绘了诗人孤单寂寞悲哀苦闷的情绪 ，两相映照 ，分外动人 。然而，从数学上看来 ，这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线（一维空间） 。陈老先生以自己为原点 ，前不见古人指时间可以延伸到负无穷大，后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大 。后两句则描写三维的现实空间：天是平面 ，地是平面 ，悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考，感到自然之伟大 ，产生了敬畏之心 ，以至怆然涕下 。这样的意境，数学家和文学家可以共有 。尤其是 ，把时间和空间放在一起思考 ，可以说也在意境上与爱因斯坦的四维时空学说相衔接。
无限有两种：其一为没完没了的“潜无限 ”，其二是“将无限一览无余 ”的“实无限” 。有一次，一个朋友来家闲坐 。问起 0.9999……=1 ，对不对。他随口说数列的无限就像长江流水滚滚来 。这促使小编想起杜甫的名诗《登高》中的两句：
无边落木萧萧下 ， 不尽长江滚滚来 。
前句指的是“实无限”，即实实在在全部完成了的无限过程、已经被我们掌握了的无限。“无边落木 ”就是指“所有的落木 ” ，这个实无限集合 ，已被我们一览无余。后句则是所谓潜无限，它没完没了 ，不断地“滚滚”而来 。尽管到现在为止 ，还是有限的，却永远不会停止 。数学的无限显示出“冰冷的美丽 ” ，杜甫诗句中的“无限 ”则体现出悲壮的人文情怀 ，但是在意境上，彼此是沟通的。
小编的第二波思考是将数学思想方法和古诗意境连接起来 。有一年 ，小编在河内参加一个会议 。新加坡南洋大学的李秉彝教授和我同住一个旅店。他喜欢到古玩街闲逛 ， 收来一把茶壶，上面有诗句：
松下问童子，言师采药去 。
只在此山中 ，云深不知处 。
品玩之余 ，我们突然感觉到这首小诗在人文意境上和数学存在性定理彼此相通。文学家欣赏“云深不知处”的苍茫意境，而数学家则会关注难以名状的一种不确定性 。隐者在哪里? “云深不知处 ” 。但是他确实就在此山中。与数学的意境何等契合！
数学上常用反证法 。你要驳倒一个论点 ，你只要将此论点“假定 ”为正确 ，然后据此推出明显错误的结论，就可以推翻原论点 。苏轼的一首《琴诗》就是这样做的：
若言琴上有琴声 ，放在匣中何不鸣?
若言声在指头上 ，何不于君指上听?
意思是，如果“琴上有琴声”是正确的 ，那么放在匣中应该“鸣 ”。现在既然不鸣 ，那么原来的假设“琴上有琴声 ”就是错的。由此可见，人文的论辩和数学的证明 ，都需要遵循逻辑规则 。
最近 ，小编开始第三波的数学意境研究，将数学问题求解的过程，用古诗意境加以比喻 。这里也有一些例子。
首先是关于黎曼积分和勒贝格积分 。苏轼《题西林壁》诗云：
横看成岭侧成峰 ，远近高低各不同 。
不识庐山真面目 ，只缘身在此山中。
将前两句比喻黎曼积分和勒贝格积分的关系，相当有趣 。苏轼诗意是：同是一座庐山 ，横看和侧看各不相同 。勒贝格则说 ，比如数一堆叠好了的硬币，你可以一叠叠地竖着数 ，也可以一层层横着数 ，同是这些硬币，计算的思想方法却差异很大。横看和侧看 ，数学意境和人文意境竟可以相隔时空得到共鸣 ，发人深思 。
最后一个实例是局部和整体 。仔细琢磨一下微积分的核心思想之一，在于考察一点的局部。研究曲线上一点的切线 ，只考虑该点本身不行 ，必须考察该点周围的一些点，这就是局部的思想 。一点的局部，只是考察该点的“附近” ，却没有远近的确切要求 。这种小大由之的概念 ，颇有一些哲学意味，它需要从意境上加以把握。为什么考察一个人 ，要问他/她的身世 、家庭 、社会关系？也是因为人是以局部而存在的。孤立地考察一个人是不行的 。微积分学就是突破了初等数学“就事论事 ”、孤立地考察一点、不及周围的静态思考 ，转而用动态地考察“局部 ”的思考方法，终于创造了科学的黄金时代 。可是 ，现在的微积分教材 ，对此只字不提，颇觉遗憾。
考察局部 ，何止于微积分？最近读到韩愈的诗句：
天街小雨润如酥 ，
草色遥看近却无 。
突然想到，诗的第二句当是阐述拓扑学上局部和整体的一种文学意境描写 。就曲面来说 ，远看可以有整体的区分 ，例如球面和环面。但是，近看却都差不多，都是一个“圆片”：二维的欧氏平面的局部 。这正如整体的草色只能“遥看” ，一旦近了 ，到局部状态，那种“草色 ”就“近看无 ”了 。
数学和人文意境的沟通 ，还会有许多其他的例子。比如《道德经》说：“道生一 、一生二 、二生三、三生万物” ，就和皮亚诺的自然数公理庶几相近 。
作者：张奠宙（华东师范大学数学系）
来源：中国数学会通讯（2012年第3期）
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