二分之一等于零点五。
四分之一等于零点二五 。
八分之一等于零点一二五 。
这些小数写到某一位就结束了。
三分之一却不会 。
七分之一也不会 。
为什么？
先看一个有限小数。
零点一二五 。
它可以写成一千分之一百二十五 。
因为小数点后三位，本质上就是以一千为分母。
而一千等于十乘十乘十 。
十又等于二乘五 。
所以任何有限小数 ，最终都能写成一个分母是十、百 、千 、万这一类数的分数。
反过来 ，如果一个最简分数的分母能够通过乘某个整数，变成十的某次方 ，它就能写成有限小数 。
例如八分之一 。
分母八等于二乘二乘二。
只缺少三个五 ，就能变成一千。
所以分子分母同时乘以一百二十五 。
八分之一变成一千分之一百二十五 。
也就是零点一二五。
再看二十分之三 。
二十等于二乘二乘五 。
补一个五，就能变成一百。
于是二十分之三等于一百分之十五 ，也就是零点一五 。
这说明 ，在十进制里，一个最简分数能不能化成有限小数 ，关键看分母的质因数 。
如果分母只含二和五 ，就能通过补足因子变成十的某次方。
小数最终会结束 。
如果分母里还含有三、七 、十一等别的质因数，就不可能只靠乘整数把它变成纯粹的十的幂 ，同时保持分数等值所需的结构 。
这时 ，小数展开不会有限结束。
注意，一定要先约成最简分数 。
六分之三看起来分母有三 。
但它先约成二分之一。
真正决定小数性质的是最简形式的分母。
这个结论把我们前面几篇串起来了 。
约分不是形式上的美化 。
它能暴露一个有理数最核心的分母结构。
十进制也不是透明背景 。
因为十等于二乘五，所以二和五在有限小数里拥有特殊地位 。
如果我们生活在别的进制里 ，哪些分数能有限结束也会改变。
例如三进制会偏爱分母含三的结构 。
所以“一个分数是不是有限小数”并不是这个数孤立的天性 。
它还取决于我们选择怎样的记数进制。
那不能结束的小数会怎样？
长除法时 ，余数不可能无限出现全新的情况 。
某个余数迟早会重复 。
一旦余数重复，后面的计算过程也会重复。
于是出现循环小数 。
这个结论还能反过来帮助我们预判 。
看到七分之八 ，不必真的长除法 ，就知道它不会成为有限十进制小数，因为最简分母七含有二和五之外的质因数。
看到四十分之七 ，分母四十等于二乘二乘二乘五 ，所以一定能有限结束。
四十分之七等于零点一七五 。
这种“先看结构，再决定计算结果会长什么样 ”的能力 ，比单纯把除法做到底更接近数学思维 。
有限小数末尾补零不会改变值 ，也可以从分数理解。
零点五等于十分之五 。
零点五零等于一百分之五十 。
分子分母同时乘十，比例不变。
所以补零只是把分割单位变细 ，没有改变位置 。
这也解释了为什么金额常写成两位小数 。
五元写成五点零零元 ，是格式统一，不是增加了价值。
同一个分数在不同进制里的命运，也能反过来检验这个结论 。三分之一在十进制循环 ，因为十的质因数只有二和五；在三进制里 ，分母三正好和基数匹配，所以它能有限表示 。有限与循环 ，是分母结构和进制结构共同作用的结果。
下一篇 ，我们就研究这个循环为什么必然发生，以及为什么循环小数仍然是一个精确的数 。
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